线性代数12：矩阵应用——图与网络

一、知识概要

到目前为止，我们已经学习了很多线性代数的核心概念，比如零空间、列空间、左零空间等等。这一节，我们来看一个非常漂亮的实际应用——如何用矩阵来描述图与网络。

和前面几节不同，之前我们举例用的矩阵元素大多是为了解释性质而特意构造的。而这一节，矩阵中的每一个元素都直接来源于实际问题。通过这个例子，我们能更直观地感受到之前所学的矩阵性质是如何在真实场景中发挥作用的。

二、图和关联矩阵

我们先来看一个简单的有向图：

整个讨论都将围绕这个有向图展开。对于任意一个有向图，我们都可以写出它的关联矩阵 $A$ 来描述图的结构。对于上面这个图，它的关联矩阵是：

$$A=\begin{bmatrix} -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \end{bmatrix}$$

如果你是第一次接触关联矩阵，这里我帮你理一理它的构造规则。在这个 $5 \times 4$ 的矩阵中：

• 每一列对应一个节点：第一列对应节点 1，第二列对应节点 2，以此类推；
• 每一行对应一条边：第一行对应边 1，第二行对应边 2，依此类推。

符号规则很简单：如果一条边从某个节点出发，那么该位置的元素是 -1；如果这条边到达某个节点，那么该位置的元素是 1。

比如第一行代表边 1，它从节点 1 出发，到节点 2 结束，所以 $A_{11} = -1$，$A_{12} = 1$，其他元素都是 0。其他行也是按照同样的规则填写的。

理解了关联矩阵的构造之后，我们来看一个实际物理问题，就能发现这个矩阵背后深刻的意义。

案例研究：电势与电流

假设 $x$ 表示每个节点上的电势，我们来研究 $Ax = b$ 这种形式能告诉我们什么结论。

情况一：当 $b$ 为零向量

此时我们需要求解 $Ax = 0$，把矩阵乘开就是：

$$Ax=\begin{bmatrix} -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x_2 - x_1 \\ x_3 - x_2 \\ x_3 - x_1 \\ x_4 - x_1 \\ x_4 - x_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{bmatrix}$$

你看，Ax 的结果其实就是每条边两个端点的电势差！这个发现非常关键。

现在我们求解这个方程组，最终得到的解是：

$$x = C\begin{bmatrix}1 \\ 1 \\ 1 \\ 1\end{bmatrix}$$

其中 $C$ 是任意常数。

从物理意义上看，这个结果太合理了。因为 $x$ 代表各个节点的电势，解告诉我们当 $b = 0$ 时，所有节点的电势必须相等。而我们知道，电流的产生依赖于电势差——既然 $b = 0$ 意味着每条边的电势差都是零，那么自然就没有电流流动。最终解出来所有节点电势相等，完全符合我们的物理直觉。

从线性代数的角度看，这个结果也告诉我们：零空间 $N(A)$ 是一维的，所以矩阵 $A$ 的秩 $r = 4 - 1 = 3$。

情况二：当 $b$ 不为零

这时候我们可以用”特解+通解”的方法求解，不同的 $b$ 对应不同的电势差，解出的 $x$ 就是各个节点在这种情况下的电势值。这个思路和我们之前学的完全一致。

左零空间与基尔霍夫定律

接下来我们研究左零空间，也就是求解 $A^T y = 0$。首先写出 $A$ 的转置：

$$A^T=\begin{bmatrix} -1 & 0 & -1 & -1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}$$

现在求解方程 $A^T y = 0$：

$$A^T y=\begin{bmatrix} -1 & 0 & -1 & -1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}y_1 \\ y_2 \\ y_3 \\ y_4 \\ y_5\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{bmatrix}$$

这里的 $y$ 有五个分量，正好对应五条边。结合我们的物理背景，这里的 $y$ 其实就是流过每条边的电流。

把方程组展开来看：

$$\begin{cases} -y_1 - y_3 - y_4 = 0 \\\\ y_1 - y_2 = 0 \\\\ y_2 + y_3 - y_5 = 0 \\\\ y_4 + y_5 = 0 \end{cases}$$

你发现了吗？这四个方程正好对应四个节点，每个方程表达的意思就是：对于每个节点，流入电流之和等于流出电流之和。这正是电路理论中最基本的基尔霍夫电流定律！

线性代数和电路定律就这样自然地结合在了一起。求解这个方程组，我们得到的解 $\begin{bmatrix}y_1 & y_2 & y_3 & y_4 & y_5\end{bmatrix}^T$ 就是满足基尔霍夫定律的各边电流值。

三、实际应用的扩展

我们来梳理一下目前得到的结论：

• $Ax$ 的每个分量就是对应边两端节点的电势差：$x_2 - x_1, x_3 - x_2, \dots$；
• $A^T y = 0$ 表达了基尔霍夫电流定律，其中 $y$ 是各边电流；
• 那电流和电势差之间是什么关系呢？

这就要说到我们初中就学过的欧姆定律了：电流等于电压除以电阻，换句话说，电流和电势差成正比。我们可以把这个关系用矩阵形式表示出来。

设对角矩阵 $C$ 表示各边电导（电阻的倒数），那么有：

$$\begin{bmatrix}y_1 \\ y_2 \\ y_3 \\ y_4 \\ y_5\end{bmatrix}=C\begin{bmatrix}x_2 - x_1 \\ x_3 - x_2 \\ x_3 - x_1 \\ x_4 - x_1 \\ x_4 - x_3\end{bmatrix}=C Ax$$

也就是 $y = CAx$。

现在，我们已经把三个核心概念都用矩阵表示出来了：

1. 图的拓扑结构 —— 关联矩阵 $A$
2. 节点电势 —— 向量 $x$
3. 边的电导特性 —— 对角矩阵 $C$
4. 边电流 —— 向量 $y$

前面我们讨论的 $A^T y = 0$ 是无源电路的情况（没有外加电源）。如果电路中存在外加电源，那么方程就变成 $A^T y = f$，其中 $f$ 表示外部电源对节点电流的影响。

把 $y = CAx$ 代入这个式子，我们就得到了最终的方程：

$$A^T C A x = f$$

这个方程就是电阻电路中节点电势满足的方程。可以说，我们仅仅用矩阵乘法就把整个电路问题完整描述出来了，这就是线性代数的威力！

让我用一个流程图总结一下整个推导过程：

四、学习感悟

本节内容与之前所学知识联系紧密，同时与实际应用的结合也十分紧密。从一个有向图出发，结合实际物理问题，详细解释了如何运用矩阵来阐述欧姆定律和基尔霍夫定律。学习完本节后，我们对之前所学的各种空间在实际问题中的作用有了更深入、更切实的理解，真正体会到线性代数知识的实用性和广泛应用。

笔者作为一名通信IC设计者，看到这个例子还是很有感触的。线性代数不仅仅是书本上抽象的数学工具，它实际上已经渗透到我们日常设计的方方面面。无论是电路仿真、网络分析，还是后面我们会看到的信号处理、通信系统建模，背后都离不开这些基础的线性代数理论。理解了这一层关联，再看那些抽象的空间、秩、零空间概念，就会觉得它们亲切多了。