线性代数06-列空间和零空间

Linear Algebra-列空间和零空间-06

概要

在上一节中，我们已经认识了向量空间和子空间的概念。今天，我们将在此基础上进一步探索线性代数中两个非常核心的概念——列空间和零空间。这两个空间都与我们一直关心的方程 $Ax=b$ 密切相关，通过理解它们，我们能从全新的角度看待线性方程组的解的存在性问题。

本文会从子空间的性质讲起，然后一步步引出这两种重要的子空间，让你明白它们到底是什么，以及它们为什么对理解线性方程组这么重要。

子空间

子空间回顾

让我们先快速回顾一下子空间的基本性质。判断一个集合是否为子空间，最关键的一点就是看它是否对线性运算封闭——也就是说，集合中任意两个向量相加，结果仍然要在这个集合里；任意一个向量数乘之后，结果也必须还在集合里。

我们从最简单的 $R^3$ 空间开始，整个三维空间本身就是一个向量空间，如下图所示：

上一节我们学习过，$R^3$ 的子空间常见有以下三种，并且所有子空间都必须包含原点（零向量）：

1. 穿过原点的无限延伸的平面 P；
2. 穿过原点的无限延伸的直线 L；
3. 仅包含原点的零空间 Z；

反映在图像上就是这样：

很容易验证它们都满足线性封闭性：无论是直线 L 还是平面 P，任取两个向量相加，得到的向量仍在该子空间中；任意向量数乘之后，结果也还在原来的子空间中。所以它们都是合格的子空间。

子空间的”交”与”并”

刚才我们都是分别讨论单个子空间，现在来思考一个有趣的问题：如果有两个子空间，它们的并集和交集还是不是子空间呢？我们一起来分析一下。

P∪L 空间

还是以 $R^3$ 中的平面 P 和直线 L 为例，它们本身都是子空间。现在把它们合并在一起，形成集合 $P \cup L$，包含了 P 和 L 中的所有向量，这个新集合还是子空间吗？

答案是否定的。

原因很简单：$P \cup L$ 对线性运算不封闭。比如我们在直线 L 上取一个向量 $\mathbf{a}$，在平面 P 上取一个向量 $\mathbf{b}$，它们都属于 $P \cup L$，但是它们的和 $\mathbf{a}+\mathbf{b}$ 的方向会夹在直线 L 与平面 P 之间，既不在 L 上也不在 P 上，因此也就不在 $P \cup L$ 中。这就违反了加法封闭性的要求。

所以，两个子空间的并不一定是子空间。这有点反直觉，但从封闭性的要求出发，结论很清晰。

P∩L 空间

那如果换成交集呢？还是用刚才 $R^3$ 的例子，平面 P 和直线 L 只在原点相交，所以它们的交集就是原点，而原点本身就是一个子空间，没问题。

如果推广到一般情况：假设 S 和 T 都是某个大空间的子空间，那么它们的交集 $S \cap T$ 还是子空间吗？

这次的答案是肯定的。

我们可以这样理解：$S \cap T$ 中的向量必须同时满足 S 和 T 对线性封闭性的要求。任取两个向量 $\mathbf{v}, \mathbf{w}$ 都在 $S \cap T$ 中：

• 因为它们都在 S 中，S 是子空间，所以 $\mathbf{v}+\mathbf{w}$ 也在 S 中；同理，$\mathbf{v}+\mathbf{w}$ 也在 T 中，因此 $\mathbf{v}+\mathbf{w}$ 在 $S \cap T$ 中，加法封闭成立。
• 同样，对任意常数 $c$，$c\mathbf{v}$ 既在 S 中也在 T 中，因此也在 $S \cap T$ 中，数乘封闭也成立。

所以，任意两个子空间的交集仍然是子空间。这个结论非常有用，我们后面还会用到。

列空间

列空间回顾

现在我们进入正题，先来认识列空间。我们通过一个具体例子来理解。

假设有这样一个矩阵：

$$A=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 2\\ 2 & 1 & 3\\ 3 & 1 & 4\\ 4 & 1 & 5\\ \end{bmatrix}$$

这个矩阵有三列，每一列都是一个四维向量：

$$\begin{bmatrix}1\\2\\3\\4\end{bmatrix}, \quad \begin{bmatrix}1\\1\\1\\1\end{bmatrix}, \quad \begin{bmatrix}2\\3\\4\\5\end{bmatrix}$$

它们都属于 $R^4$，因此由这三个列向量张成的空间就是A 的列空间，它是 $R^4$ 的一个子空间，记作 $C(A)$。

列空间里到底包含了什么向量呢？很简单，除了这三个列向量本身，还包含了它们所有可能的线性组合。换句话说，A 的列空间就是这三个列向量张成的子空间。

那这个子空间到底有多大呢？要回答这个问题，我们还是得回到最熟悉的 $Ax=b$ 方程上来。

Ax=b 的空间解释

还是用刚才的矩阵 A，我们写出方程 $Ax=b$：

$$Ax=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 2\\ 2 & 1 & 3\\ 3 & 1 & 4\\ 4 & 1 & 5\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3\\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} b_1\\ b_2\\ b_3\\ b_4\\ \end{bmatrix}=b$$

我们来回答三个关键问题，这能帮助我们彻底理解列空间的本质。

第一个问题：这个方程对任意的 b 都一定有解吗？

我们之前说过，$Ax$ 的本质就是对 A 的列向量做线性组合：

$$Ax = x_1\begin{bmatrix}1\\2\\3\\4\end{bmatrix}+x_2\begin{bmatrix}1\\1\\1\\1\end{bmatrix}+x_3\begin{bmatrix}2\\3\\4\\5\end{bmatrix}$$

所以 $Ax$ 的所有可能结果，正好就是 A 的列空间。

现在想想，三个四维向量的线性组合，能铺满整个四维空间 $R^4$ 吗？显然不能。这就好比两个三维向量没法张成整个三维空间一样，向量的个数不够，它们只能张成 $R^4$ 的一个子空间。所以，不是随便拿出一个四维向量 b 都能写成这种线性组合的，也就是说，不是对任意 b 方程都有解。

第二个问题：那什么样的 b 才能让方程 $Ax=b$ 有解呢？

答案其实已经出来了：当且仅当 b 属于 A 的列空间 $C(A)$ 时，方程 $Ax=b$ 才有解。

这个结论太重要了，我再强调一遍：b 必须在 A 的列空间里，方程才有解。这就是列空间和线性方程组解的存在性之间的根本联系。

第三个问题：能否去掉 A 的一列，却不改变 A 的列空间呢？

我们来看看 A 的这三列：

$$\begin{bmatrix}1\\2\\3\\4\end{bmatrix}, \quad \begin{bmatrix}1\\1\\1\\1\end{bmatrix}, \quad \begin{bmatrix}2\\3\\4\\5\end{bmatrix}$$

仔细观察一下，你会发现第三列其实就是前两列之和：

$$\begin{bmatrix}2\\3\\4\\5\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\2\\3\\4\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}1\\1\\1\\1\end{bmatrix}$$

也就是说，第三列本身就在前两列张成的空间里，它对扩大列空间没有任何贡献。所以，即使我们去掉第三列，剩下两列仍然能张成和原来一样的列空间。

我们把那些对张成空间有实质贡献的列叫做主列。在这个例子中，前两列就是主列。

零空间

讲完了列空间，我们来看另一种非常重要的子空间——零空间。零空间是从另一个角度构造出来的子空间，和列空间互补。

零空间介绍

所谓零空间，其实非常好理解：它就是方程 $Ax=0$ 的所有解 x 构成的空间。

还是用刚才的矩阵 A 来举例，它的零空间就是下面这个方程的所有解构成的空间：

$$Ax=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 2\\ 2 & 1 & 3\\ 3 & 1 & 4\\ 4 & 1 & 5\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3\\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ \end{bmatrix}=0$$

这里的解 x 是一个三维向量 $\begin{bmatrix}x_1\x_2\x_3\end{bmatrix}$，它属于 $R^3$，所以 A 的零空间是 $R^3$ 的一个子空间。

我们来总结一下，对于一个 $m \times n$ 的矩阵 A：

• 列空间 $C(A)$ 是 $R^m$ 的子空间（因为每个列向量都是 m 维的）
• 零空间 $N(A)$ 是 $R^n$ 的子空间（因为解 x 是 n 维的）

这是一个很重要的区别，一定要记清楚。

现在我们需要验证一下：为什么 $Ax=0$ 的解集确实构成一个子空间呢？我们还是用封闭性来检验：

1. 加法封闭：假设 $\mathbf{v}$ 和 $\mathbf{w}$ 都是 $Ax=0$ 的解，也就是说 $A\mathbf{v}=0$，$A\mathbf{w}=0$。那么 $A(\mathbf{v}+\mathbf{w})=A\mathbf{v}+A\mathbf{w}=0+0=0$，所以 $\mathbf{v}+\mathbf{w}$ 也是解，加法封闭成立。

2. 数乘封闭：对任意常数 c，$A(c\mathbf{v})=c(A\mathbf{v})=c \cdot 0=0$，所以 $c\mathbf{v}$ 也是解，数乘封闭也成立。

完美！两个条件都满足，所以零空间确实是一个合法的子空间。

我们来看一个具体的例子，求一下刚才那个矩阵 A 的零空间。

我们已经知道第三列是前两列的和，所以很容易找到一个非零解：$\begin{bmatrix}1\1\-1\end{bmatrix}$，它满足 $Ax=0$。那所有解是什么样的呢？其实就是这个向量的任意数乘：$C\begin{bmatrix}1\1\-1\end{bmatrix}$，其中 C 是任意常数。

所以这个零空间几何上就是 $R^3$ 中一条穿过原点的直线，符合子空间的要求。

Ax=b 的空间解释

现在我们再拓展一下思考：如果方程右侧不是零向量，而是任意一个非零向量 b，那么解集还能构成向量空间吗？

比如看这个例子：

$$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 2\\ 2 & 1 & 3\\ 3 & 1 & 4\\ 4 & 1 & 5\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3\\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1\\ 2\\ 3\\ 4\\ \end{bmatrix}$$

这样的所有 x 构成的解集还是向量空间吗？

答案显然是否定的。

最简单的判断方法就是：零向量 $\begin{bmatrix}0\0\0\end{bmatrix}$ 代入左边根本不等于右边的 b，所以零向量不在这个解集中。而任何向量空间都必须包含零向量，连零向量都没有，自然不可能是向量空间了。

几何上来看，当 $Ax=b$ 有解时，它的解集其实是一个”平移”过的零空间——也就是一个不过原点的平面（在三维情况下就是直线或平面），这也不符合子空间必须包含原点的要求。

这个结论很重要，需要我们记住：只有当方程右侧是零向量时，解集才能构成子空间（也就是零空间）；对于非零的 b，即使方程有解，解集也不是向量空间。

学习感悟

这一节我们学习了列空间与零空间，从$Ax=b$入手，给出了两种构建子空间的方法：

1. 从 A 的列向量入手，根据列向量的线性组合构造空间；
2. 从$Ax=0$方程组入手，让 x 满足特定条件来构造子空间；

这两个概念是线性代数的基础，理解了它们，我们就能从空间的角度真正理解线性方程组解的结构。列空间告诉我们 b 满足什么条件才有解，零空间则告诉我们当有解时，解空间本身是什么结构，两者结合起来就完整了。