Linear Algebra-行列式介绍-18,19

一、知识概览

这一章内容是为后续求解特征值做准备的，核心目标是让大家熟练掌握行列式的求解方法以及相关性质。只要掌握了行列式的一般求解流程，这部分内容其实难度不大。由于这部分内容更侧重技巧的运用，而不是抽象概念的理解，所以我把第18、19课中关于行列式的内容整合在一起讲。

二、行列式的特性

行列式是与每个方阵紧密相关的一个数值，它蕴含着矩阵的诸多重要性质。最实用的一点就是：我们可以依据行列式来判断方阵是否可逆——若行列式的值为 0，则该方阵不可逆。

行列式的表示方法

行列式记为 $|A|$ 。我们已经知道：方阵可逆的充要条件是其对应的行列式值不为 0。这个结论非常重要，大家一定要记牢。

行列式的具体性质

接下来我们逐个来看行列式的关键性质：

单位矩阵的行列式：对于单位阵 $I$ ，有 $|I| = 1$ 。这是最基本的起点。
行交换的影响：交换矩阵的两行后，行列式的值会变为原来的相反数。例如：
$\left|\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right| = 1, \quad \left|\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right| = -1$
行列式的线性性质：

若矩阵的某一行乘以一个系数 $t$ ，那么整个行列式的值也会乘以 $t$ ，即：

$\left|\begin{array}{cc} t a & t b \\ c & d \end{array}\right| = t \left|\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right|$

行列式在每一行上都具有线性性质，具体表现为：

$\left|\begin{array}{cc} a + a' & b + b' \\ c & d \end{array}\right| = \left|\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right| + \left|\begin{array}{cc} a' & b' \\ c & d \end{array}\right|$

这里需要特别注意的是，这并不意味着 $|A + B| = |A| + |B|$ ，行列式的线性运算仅作用于每一行，而非整个矩阵。我们可以通过二阶行列式自己验证这一点。

两行相等的情况：如果矩阵中有两行元素完全相同，那么该行列式的值为 0。我们可以从线性相关的角度来理解这一性质，也可以利用性质 2 进行证明：交换相同的两行后行列式的值不变，但根据性质 2 交换两行后行列式符号相反，所以只有行列式值为 0 才能满足这一条件。这个证明非常巧妙，大家可以自己想一想。
行消元的不变性：从矩阵的第 $k$ 行减去第 $l$ 行的 $i$ 倍，行列式的值不会发生改变。这就是我们在消元过程中常用的操作，下面以二阶行列式为例进行说明：
$\left|\begin{array}{cc} a & b \\ c - i a & d - i b \end{array}\right| \underset{\text{性质3.2}}{\to} \left|\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array}\right| + \left|\begin{array}{cc} a & b \\ -i a & -i b \end{array}\right| = \left|\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right| + (-i) \left|\begin{array}{ll} a & b \\ a & b \end{array}\right| = \left|\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right| + 0 = \left|\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right|$

看到了吗？通过前面几个性质的组合运用，我们就证明了消元操作不改变行列式的值，这也是为什么消元法是计算行列式最常用的方法。

零行的行列式：如果矩阵中有某一行为零，那么该矩阵的行列式值为 0。这一性质可以通过在性质 3 中令 $t = 0$ 得到，非常直观。
上三角矩阵的行列式：上三角矩阵的行列式值等于其主对角线上元素的乘积。我们可以通过消元的方法将上三角矩阵化为行最简形，然后提取公因子来证明这一结论：
$\left|\begin{array}{cccc} d_{1} & * & * & * \\ 0 & d_{2} & * & * \\ 0 & 0 & \cdots & * \\ 0 & 0 & 0 & d_{n} \end{array}\right| \underset{\text{消元化为行最简}}{\to} \left|\begin{array}{cccc} d_{1} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & d_{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & d_{n} \end{array}\right| = d_{1} d_{2} \cdots d_{n}$

这个性质太重要了，它意味着只要我们把矩阵通过消元变成上三角形式，直接乘对角线元素就能得到行列式结果。

行列式与可逆性的关系：方阵 $A$ 的行列式 $|A|$ 不为零的充要条件是 $A$ 可逆。不可逆矩阵经过消元后会出现全零行，其行列式必为 0；而可逆矩阵经过消元后各列都有主元，行列式就是主元的乘积，所以行列式不为 0。这就把我们之前学过的矩阵可逆性和行列式紧密联系起来了。
矩阵乘积的行列式：方阵乘积的行列式等于方阵行列式的乘积，即 $|AB| = |A||B|$ 。由此可以得出以下结论：

可逆矩阵的行列式与其逆矩阵的行列式互为倒数： $A A^{-1} = I \to |A| |A^{-1}| = 1$
矩阵平方的行列式等于矩阵行列式的平方： $|A^2| = (|A|)^2$ 。
对于常数 $k$ 和 $n$ 阶矩阵 $A$ ，有 $|kA| = k^n |A|$ （这是因为从每一行中都提出了一个 $k$ ）。

这里要特别提醒一下第三个结论，很多初学者容易记错，写成 $|kA| = k|A|$ ，这是错误的——一定要注意是 $k^n$ ，因为每一行都提一个 $k$ ，n 行就是 n 个k相乘。

转置矩阵的行列式：矩阵转置后的行列式与原矩阵的行列式相等，即 $|A^T| = |A|$ 。我们可以通过将矩阵分解为 $LU$ 形式，利用性质 9 和三角矩阵行列式的性质来理解这一结论： $|U^T L^T| = |LU| \to |U^T| |L^T| = |U| |L|$

由于 $L$ 是主对角线全为 1 的下三角矩阵， $U$ 是上三角矩阵，它们转置后的行列式仍然等于主对角线元素的乘积，所以等式自然成立。这个结论告诉我们，行列式对行成立的所有性质，对列也同样成立。

三、行列式公式

了解了行列式的基本性质后，我们来看行列式的具体计算公式。

二阶行列式的计算

我们最熟悉的二阶行列式公式大家肯定都记得：

$\left|\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right| = ad - bc$

但你有没有想过，这个公式是怎么来的？其实它可以通过行列式的性质一步步推导出来。

行列式的展开原理

行列式的展开过程实际上是对矩阵元素进行线性组合的过程。我们以二阶行列式为例，一步步展开看看：

$\left|\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right| \underset{\text{第一行线性组合}}{\to} \left|\begin{array}{ll} a & 0 \\ c & d \end{array}\right| + \left|\begin{array}{ll} 0 & b \\ c & d \end{array}\right|\underset{\text{第二行线性组合}}{\to} \left|\begin{array}{ll} a & 0 \\ c & 0 \end{array}\right| + \left|\begin{array}{ll} a & 0 \\ 0 & d \end{array}\right| + \left|\begin{array}{ll} 0 & b \\ c & 0 \end{array}\right| + \left|\begin{array}{ll} 0 & b \\ 0 & d \end{array}\right|$

根据行列式的性质，这些分解后的行列式中只有部分非零项会对最终结果产生贡献。只有当每行每列都恰好有一个非零元素时，拆分项才可能非零，否则就会出现两行成比例，行列式为零。通过计算可以得到：

$0 + ad + (-bc) + 0 = ad - bc$

完美，我们得到了熟悉的二阶行列式公式。这个推导过程比直接记住公式更能帮你理解行列式的本质。

三阶行列式的展开

对于三阶行列式，我们可以按照类似的方法进行展开：

$\begin{aligned} \left|\begin{array}{lll} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}\right| & = \left|\begin{array}{ccc} a_{11} & 0 & 0 \\ 0 & a_{22} & 0 \\ 0 & 0 & a_{33} \end{array}\right| + \left|\begin{array}{ccc} a_{11} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a_{23} \\ 0 & a_{32} & 0 \end{array}\right| + \left|\begin{array}{ccc} 0& a_{12} & 0 \\ a_{21} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a_{33} \end{array}\right| \\ & + \left|\begin{array}{ccc} 0 & a_{12} & 0 \\ 0 & 0 & a_{23} \\ a_{31} & 0 & 0 \end{array}\right| + \left|\begin{array}{ccc} 0 & 0 & a_{13} \\ a_{21} & 0 & 0 \\ 0 & a_{32} & 0 \end{array}\right| + \left|\begin{array}{ccc} 0 & 0 & a_{13} \\ 0 & a_{22} & 0 \\ a_{31} & 0 & 0 \end{array}\right| \end{aligned}$

观察可以发现，对于 $n$ 阶矩阵，展开后非零的拆分项一共有 $n!$ 种。道理很简单：第一行有 n 种选择，第二行有 n-1 种选择，…，最后一行只有 1 种选择，所以总共有 $n!$ 个非零矩阵相加。三阶矩阵就是 $3! = 6$ 项，正好对应上面展开式的六项。

一般行列式公式

基于上面的分析，行列式的一般公式可以表示为：

$|A| = \sum_{n!} \pm a_{1 \alpha} a_{2 \beta} a_{3 \gamma} \cdots a_{n \omega}$

其中， $\alpha, \beta, \gamma, \ldots, \omega$ 是列标集合 $\{1, 2, \ldots, n\}$ 的一种排列，每个列标符号都恰好出现一次。符号的正负取决于排列的逆序数：逆序数为偶数时取正，逆序数为奇数时取负。

行列式计算示例

我们来看一个具体的例子，帮助理解这个公式。计算以下四阶行列式：

$\left|\begin{array}{llll} 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right|$

根据行列式公式，我们需要找出所有非零项的排列组合。首先，第一行的元素只有第三列和第四列非零，所以 $\alpha$ （第一行的列索引）只能为 3 或 4。逐步分析下去，非零项的排列只有两种可能： $(4, 3, 2, 1)$ 和 $(3, 2, 1, 4)$ 。将其写成行列式形式就是：

$\left|\begin{array}{llll} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right| + \left|\begin{array}{llll} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right|$

将第一个行列式调整到标准的对角线位置，最少需要 2 次行交换，所以符号为 +1；第二个行列式至少需要 1 次行交换，符号为 -1。因此，该行列式的值为：

$1 + (-1) = 0$

最终结果就是 0，说明这个矩阵是不可逆的。

四、代数余子式

刚才我们看到，直接用全排列公式计算行列式，当n很大时， $n!$ 增长得太快了，计算量根本受不了。所以我们需要一个更实用的计算方法，这就是代数余子式展开。

代数余子式的定义

元素 $a_{ij}$ 位置对应的代数余子式 $C_{ij}$ 定义为：去掉原行列式中第 $i$ 行和第 $j$ 列后剩余元素组成的行列式值，再乘以 $(-1)^{i+j}$ 。即：

$C_{ij} = (-1)^{i+j} \times \text{剩余元素组成的行列式值}$

代数余子式的符号规律很好记，像棋盘一样交替变化：

$\left|\begin{array}{llll} + & - & + & - & + \\ - & + & - & + & - \\ + & - & + & - & +\\- & + & - & + & - \\+ & - & + & - & + \end{array}\right|$

左上角 $i+j=2$ 是偶数，所以是正号，然后相邻位置符号相反，非常好记。

行列式的展开

利用代数余子式，我们可以将 $n$ 阶行列式展开为 $n - 1$ 阶行列式的线性组合。例如，沿第一行展开的形式为：

$|A| = a_{11} C_{11} + a_{12} C_{12} + \cdots + a_{1n} C_{1n}$

如果沿第 $i$ 行展开，只需将上式中的 1 换成 $i$ 即可。同理，行列式也可以按列展开，因为转置不改变行列式值，所以按列展开的公式和按行展开完全类似。

特殊矩阵的行列式计算示例

我们来看一个有趣的例子，找一找规律。考虑以下三对角矩阵：

$A_{1} = 1, \quad A_{2} = \left|\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}\right|, \quad A_{3} = \left|\begin{array}{lll} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}\right|, \quad A_{4} = \left|\begin{array}{llll} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right|$

我们先手动计算前几阶的行列式值，看看有没有规律：

$A_{1} = 1, \quad A_{2} = 0, \quad A_{3} = -1$

现在使用代数余子式按第一行展开 $A_{4}$ ：

$A_{4} = 1 \times \left|\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}\right| + (-1) \times \left|\begin{array}{lll} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right|$

第一个行列式按第一列展开就是 $A_3$ ，第二个行列式是上三角矩阵，对角线乘积就是 1，而 $A_2 = 0$ ，所以 1 正好就是 $A_2$ 。经过计算可以得到：

$A_{4} = A_{3} - A_{2}$

由此可以发现，该矩阵的行列式值存在递推规律：

$A_{n} = A_{n-1} - A_{n-2}$

因此，该结构的行列式值构成一个数列： $1, 0, -1, -1, 0, 1, \ldots$ ，呈现出以 6 为周期的循环规律。是不是很神奇？通过代数余子式展开，我们发现了一个很漂亮的周期性结论。